Копенгаген и Гёттинген. Теория преобразований и теория излучения (1926—1927)

В сентябре 1926 года по предложению Фаулера Дирак прибыл в Копенгаген, чтобы провести некоторое время в Институте Нильса Бора. Здесь он близко сошёлся с Паулем Эренфестом и самим Бором, о которых впоследствии вспоминал:

У Бора была привычка думать вслух… Я привык выделять из своих рассуждений те, которые можно записать в виде уравнений, а рассуждения Бора таили в себе гораздо более глубокий смысл и уходили весьма далеко от математики. Мне очень нравились наши отношения с Бором, и… я не могу даже оценить, сколь сильно повлияло на мою работу то, что я слышал, как думал вслух Бор. <…> Эренфест всегда стремился к абсолютной ясности в каждой детали дискуссии… На лекции, на коллоквиуме или на каком-нибудь мероприятии такого сорта Эренфест был самым полезным человеком.

Находясь в Копенгагене, Дирак продолжал работу, пытаясь дать интерпретацию своей алгебре q-чисел. Результатом стала общая теория преобразований, объединившая в качестве частных случаев волновую и матричную механики. Этот подход, аналогичный каноническим преобразованиям в классической гамильтоновой теории, позволил переходить между различными наборами коммутирующих переменных.

Для того чтобы иметь возможность работать с переменными, характеризующимися непрерывным спектром, Дирак ввёл новый мощный математический инструмент — так называемую дельта-функцию, ныне носящую его имя. Дельта-функция стала первым примером обобщенных функций, теория которых была создана в работах Сергея Соболева и Лорана Шварца. В той же статье «Физическая интерпретация квантовой динамики», представленной в декабре 1926 года, был введен ряд обозначений, впоследствии ставших общепринятыми в квантовой механике.

Теория преобразований, построенная в работах Дирака и Йордана, позволила не полагаться более на неясные соображения принципа соответствия, а естественным образом ввести в теорию статистическую трактовку формализма на основе представлений об амплитудах вероятности.

В Копенгагене Дирак начал заниматься вопросами теории излучения. В работе «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» он показал её связь со статистикой Бозе — Эйнштейна, а затем, применив процедуру квантования к самой волновой функции, пришёл к методу вторичного квантования для бозонов. В этом подходе состояние ансамбля частиц задается их распределением по одночастичным состояниям, определяемым так называемыми числами заполнения, которые изменяются при действии на исходное состояние операторов рождения и уничтожения.

Дирак продемонстрировал эквивалентность двух различных подходов к рассмотрению электромагнитного поля, основывающихся на представлении о световых квантах и на квантовании компонент поля. Ему также удалось получить выражения для коэффициентов Эйнштейна как функций потенциала взаимодействия и, таким образом, дать толкование спонтанного излучения. Фактически в этой работе было введено представление о новом физическом объекте — квантовом поле, а метод вторичного квантования лег в основу построения квантовой электродинамики и квантовой теории поля. Спустя год Йордан и Юджин Вигнер построили схему вторичного квантования для фермионов.

Дирак продолжал заниматься теорией излучения (а также вопросами теории дисперсии и рассеяния) в Гёттингене, куда приехал в феврале 1927 года и где провел несколько следующих месяцев. Он посещал лекции Германа Вейля по теории групп, активно общался с Борном, Гейзенбергом и Робертом Оппенгеймером.